Сначала произошло частичное разложение карбоната магния:

MgCO₃   →   MgO     +   CO₂↑
1 моль        1 моль         1 моль (22,4 л
                   0,25 моль     0,25 моль ()

Vm - молярный объем (объем, занимаемый одним моль вещества, для всех газов это величина постоянная при постоянных давлении и температуре и равна 22,4 литра при нормальных условиях - давлении 1 атмосфера и температура 273 К
Количество вещества выделившегося оксида углерода (углекислого газа CO₂) равно: 
n(CO₂) = V(CO₂) / Vm = 5,6 л / 22,4 л/моль =  0,25 моль

Согласно уравнению реакции, образовалось такое же количество вещества оксида магния 
n(MgO) = n(CO₂) = 0,25 моль.
Масса образовавшегося оксида магния m(MgO) = n(MgO)*M(MgO) = 0.25 моль * 40 г/моль = 10 г.

В состав твердого остатка входят неразложившийся карбонат магния и образовавшийся оксид магния. Общая масса остатка 18,4 г. Масса оксида магния 10 г. Тогда масса неразложившегося карбоната магния 18,4-10 = 8,4 г. (Допускаем, что примесей других веществ нет
Оба вещества реагируют с соляной кислотой. В ходе реакции часть соляной кислоты (хлороводорода HCl) расходуется, ее масса, и соответственно, ее массовая доля уменьшается. Рассчитаем массу израсходованной кислоты.

MgCO₃ + 2 HCl    →   MgCl₂ +  H₂O + CO₂↑
84 г         2*36,5 г
8,4 г           х г
х = 8,4*2*36,5/84 = 7,3 г

MgO  +  2 HCl    →  MgCl₂ + H₂O
40 г      2*36,5 г
10 г          у г
у = 10*2*36,5/40 = 18,25 г

Масса израсходованной соляной кислоты 7,3+18,25 = 25,55 г
Пусть массовая доля кислоты (хлороводорода HCl) в исходном растворе была w.
Тогда масса кислоты в исходном растворе была w*m(раствор = 365w г.
Тогда масса кислоты после растворения остатка стала 365w-25,55 г.

Массовая доля кислоты изменяется не только за счет ее расходования, но и из-за изменения массы раствора. (Например, если к раствору соляной кислоты прилить воду, то массовая доля кислоты снизится, хотя кислота ни на какую реакцию не расходуется.   
Масса раствора после растворения остатка равна сумме масс исходного раствора кислоты (365 г и массе добавленного твердого остатка (18,4 г
Однако надо учесть, что масса еще и уменьшилась за счет выделившегося оксида углерода (углекислый газ улетучивается. Найдем массу выделившегося CO₂.
MgCO₃ + 2 HCl   →   MgCl₂ +  H₂O + CO₂↑
84 г      44 г
8,4 г                    х г
х = 8,4*44/84 = 4,4 г
Итоговая масса раствора равна 365 + 18,4 - 4,4 = 379 г.
По условию задачи массовая доля кислоты в итоговом растворе 2,9% или 0,029.
Выражение для массовой доли кислоты в итоговом растворе имеет вид:
(365w-25,55) / 379 = 0,029  (массу кислоты делим на массу раствора
Решая это уравнение относительно w, получим массовую долю кислоты в исходном растворе.
(365w-25,55) / 379 = 0,029
365w-25,55 = 0,029*379 = 10,99
365w = 10,99 + 25,55 = 36,54
w = 36,54/365 = 0,100 = 10%
Ответ: 10%